Objectifs:

1- Réaliser une étude numérique d'une équation ou d'une inéquation

2- Réaliser une étude graphique d'une équation ou d'une inéquation

3- Mettre en équation un problème.

4- Contrôler un résultat.

I Equation du premier degré à une inconnue:

Situation 1:

Raoul organise une exposition de motos. La location de la salle revient à 1240 euros. Les frais d'animation s'élèvent à 1000 euros. Raoul demande 40 euros de participation à chaque participant.

Combien faut-il de participants pour que Raoul rentre dans ces frais?

Total des dépenses: 1240 + 1000 = 2240 euros

Les recettes dépendent du nombre x de participants. Chaque participant paye 40 euros, le total des recettes sera de 40 x euros.

Pour équilibrer le budget, les recettes doivent être égales aux recettes. D'où: 40 x = 2240

La résolution de cette équation donne le nombre de participants minimum: x = 56

Définition: une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme: ax = b où x représente l'inconnue. La solution est donnée par x = b/a avec a ≠ 0. On appelle ax et b les membres de l'équation.

Exemple: L'équation 6 x = 7 a pour solution x = 7/6

Exercice: Résoudre les équations:

1- 4 x = 5

2- 3 x = 9

3- 12 x = 4

corection:

Remarque: L'équation a x = 0 a pour solution x = 0. L'équation 0 x = b n'a pas de solution.

Situation 2:

Joséphine lit sur une documentation technique déchirée, la longueur de petites tiges métalliques. Elle sait que la longueur totale s'élève à 25,67 cm

Pour calculer la longueur x de la tige 6, elle décompose la longueur totale:

5,42 + 1,27 + 8,17 +1,01 +6,86 + 3 x = 25,67

La longueur de la tige 6 est la solution de cette équation, d'où: 3 x + 22,73 = 25,67

D'où 3 x = 25,67 - 22,73 d'où 3 x = 2,94 d'où x = 0,98 cm

Méthode de résolution:

Exemple: 4 x + 7 = - 6(x + 1)

1- Développer si nécessaire les produits dans chaque membre.

4 x + 7 = - 6x - 6

2- Regrouper les termes connus (nombres) d'un coté du signe égal et les termes inconnus (x) de l'autre coté en appliquant la règle: un terme d'une somme peut-être changé de membre (de coté du signe égal) à condition de changer son signe.

4 x + 6x = - 6 - 7

3- Réduire les termes semblables afin d'obtenir une équation de la forme a x = b

10 x = - 13

4- Ecrire la solution x = b/a pour a ≠ 0

x = - 13/10

Remarque:

Si a = 0 et b ≠ 0, l'équation n'admet aucune solution.

Exercice:

Résoudre les équations suivantes:

a) - 3x + 5 = 0

b) 4x = 5/2

c) - 2/3x = 7/2

d) - 4x + 4 = - 16

e) 5x + 6 = 1 + 4x

f) 3( x + 5) = 4x +6

g) (x + 1/2) (2 + 3/5) = 0

h) 5x - 2 + 3(x - 5) = 0

1. - 7x - 8 + 4x - 6(3 + x) = -13

correction:

II Equations se ramenant au premier degré:

Situation:

L'équation ( 3x + 2)(x - 1) = 0 se ramène à 2 équations du premier degré:

3x + 2 = 0 soit x = - 2/3

x - 1 = 0 soit x = 1

L'équation admet 2 solutions: x₁ = - 2/3 et x₂ = 1

Définition:

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs soit nul.

Remarque:

En factorisant certaines expressions, on obtient une équation du premier degré:

x² - 1 = 0

10. + 1)(x - 1) =0

d'où x = 1 ou x = - 1

Remarque: Multiplier ou diviser les 2 membres d'une équation par un même nombre non nul, permet d'obtenir une autre équation qui a les mêmes solutions.

Exemple: L'équation (x - 2) / (x + 2) = 4 n'est pas définie pour x = -2. Pour la résoudre, on multiplie les 2 membres par (x + 2)

[(x - 2)/(x+2)].(x + 2) = 4.(x + 2) d'où x - 2 = 4x + 8....

Exercice:

Un carré et un rectangle ont même aire. Par rapport au côté du carré:

la largeur du rectangle est inférieur de 20 cm

sa longueur est supérieur de 30 cm

Calculer les 2 dimensions des 2 figures

III Inéquation du premier de gré à une inconnue:

Situation:

Un vidéo-club propose à ses clients 2 formules de location.

1ère formule: 2 euros le film pour 6 heures

2ème formule: Une carte d'abonnement annuelle de 10 euros et 1,5 euros le film pour 6 heures.

On veut trouver le nombre de films à louer pour lequel la 2ème formule est la plus avantageuse. On note x le nombre de films loués.

1-Exprimer le prix P1 à payer pour x films loués dans la première formule.

2-Exprimer le prix P2 à payer pour x films loués dans la deuxième formule.

3- Ecrire l'inégalité traduisant que la deuxième formule est plus avantageuse.

4- On obtient une inéquation du premier degré d'inconnue x

a- faire passer 2x du 2ème membre de l'inéquation dans le 1er et faire passer 10 du premier membre dans le 2ème.

b- simplifier chaque membre et vérifier que l'on obtient bien une équation de la forme ax<b. Donner les valeurs de a et b

5- Résoudre cette inéquation en utilisant la propriété suivante:

Quand on divise ou quand on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif non nul, on change le sens l'inégalité.

Exercices:

1- Completer par le signe < ou > qui convient:

2....3 -2........-3 1 / 2.......1 / 3 -1 / 2.....-1 / 3

-4...-5 4........5 1 / 4.......1 / 5 -1 /4......-1 /5

Représenter sur une droite graduée, chacun des nombres

2-On a x < 2. Que peut-on dire de: a) x - 2 b) 3x c) - 4x ?

3- Compléter le tableau:

4- Résoudre les inéquations suivantes. On donnera les solutions sous forme d'intervalle et sa représentation graphique sur une droite graduée.

IV Mettre en équation un prolème:

Activité 1:

Pour fêter leur 18 ans Claire et Caroline veulent louer une salle. Le prix de location de la salle est de 320 euros. Elles peuvent payer 50 euros chacune. Elles comptent inviter 40 personnes.

1. Quelle somme leur reste til à trouver?

2. Elles décident de demander une participation financière à leurs parents, puis à leurs invités. Leurs parents leur donnent 80 euros au total. Combien doivent-elle demander à leurs invités?

3. L'égalité trouvée est une équation du premier degré à une inconnue x. Vérifier que 3,5 est bien la solution de l'équation.

Pour résoudre un problème, il faut:

1. Choisir l'inconnue;

2. Mettre le problème en équation ou inéquation

3. Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue

4. Interpreter le résultat et conclure.

Exercices:

Dans une classe, la moitié des élèves ont 17 ans, le quart 18 ans, le huitième 19 ans, le reste comprend 5 élèves de 16 ans. Calculer le nombre total d'adolescents de ce camp de vacances.